4774. Углы при основании AD
трапеции ABCD
равны 2\alpha
и 2\beta
. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда \frac{BC}{AD}=\tg\alpha\tg\beta
.
Указание. Для доказательства достаточности продолжите боковые стороны трапеции до пересечения и впишите окружность в получившийся треугольник.
Решение. Для определённости будем считать, что AD\gt BC
. Пусть трапеция ABCD
— описанная, O
— центр вписанной окружности, r
— её радиус, K
и M
— точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами CD
и AB
соответственно.
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то \angle COK=\beta
и \angle BOM=\alpha
. Поэтому,
BC=CK+BM=r(\tg\alpha+\tg\beta),~AD=r(\ctg\alpha+\ctg\beta).
Следовательно,
\frac{BC}{AD}=\tg\alpha\tg\beta.
Пусть теперь \frac{BC}{AD}=\tg\alpha\tg\beta
. Продолжим боковые стороны AB
и CD
до пересечения в точке Q
. Впишем в треугольник AQD
окружность и проведём к ней касательную, параллельную AD
. Пусть B_{1}
и C_{1}
— точки её пересечения со сторонами AQ
и DQ
соответственно. Тогда, по ранее доказанному
B_{1}C_{1}=AD\tg\alpha\tg\beta=BC.
Следовательно, точка B_{1}
совпадает с точкой B
, а точка C_{1}
— с точкой C
, т. е. в трапецию ABCD
можно вписать окружность.