4775. Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Докажите, что их линия центров параллельна данной прямой.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Пусть A
и B
— данные точки, O
— центр данной окружности, R
— её радиус, O_{1}
и O_{2}
— центры двух построенных окружностей, r
— их радиус.
Каждая из двух равных окружностей гомотетична данной (A
и B
— центры гомотетии) с коэффициентом \frac{r}{R}
. Поэтому
\frac{AO_{1}}{AO}=\frac{BO_{2}}{BO}=\frac{r}{R}.
Следовательно, \frac{OO_{1}}{AO}=\frac{OO_{2}}{BO}
, т. е. треугольники OO_{1}O_{2}
и OAB
подобны. Отсюда следует параллельность их соответствующих сторон O_{1}O_{2}
и AB
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1956, билет 9, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 56-9-3, с. 55