4780. Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют вписанный четырёхугольник.
Указание. Выразите противоположные углы полученного четырёхугольника через углы данного.
Решение. Обозначим углы данного четырёхугольника ABCD
через 2\alpha
, 2\beta
, 2\gamma
, 2\delta
соответственно. Пусть биссектрисы углов A
и B
пересекаются в точке M
, углов B
и C
— в точке N
, углов C
и D
— в точке K
, углов A
и D
— в точке L
(см. рис.).
Рассмотрим случай, когда четырёхугольник, образованный этими биссектрисами, — это четырёхугольник KNML
. Тогда
\angle AMB+\angle CKD=180^{\circ}-(\alpha+\beta)+180^{\circ}-(\gamma+\delta)=
=360^{\circ}-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, около четырёхугольника KNML
можно описать окружность.
Примечание. Это утверждение верно и для биссектрис внешних углов выпуклого четырёхугольника.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 66, с. 81
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1948, билет 17, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 48-17-1, с. 12
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 28, с. 197
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.24, с. 154