4780. Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют вписанный четырёхугольник.
Указание. Выразите противоположные углы полученного четырёхугольника через углы данного.
Решение. Обозначим углы данного четырёхугольника ABCD
через 2\alpha
, 2\beta
, 2\gamma
, 2\delta
соответственно. Пусть биссектрисы углов A
и B
пересекаются в точке M
, углов B
и C
— в точке N
, углов C
и D
— в точке K
, углов A
и D
— в точке L
(см. рис.).
Рассмотрим случай, когда четырёхугольник, образованный этими биссектрисами, — это четырёхугольник KNML
. Тогда
\angle AMB+\angle CKD=180^{\circ}-(\alpha+\beta)+180^{\circ}-(\gamma+\delta)=
=360^{\circ}-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, около четырёхугольника KNML
можно описать окружность.
Примечание. Это утверждение верно и для биссектрис внешних углов выпуклого четырёхугольника.