4781. Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника на его стороны являются вершинами описанного четырёхугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
Указание. Докажите, что биссектрисы четырёхугольника, вершины которого — проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника на его стороны, проходят через точку пересечения диагоналей исходного четырёхугольника.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— проекции точки O
пересечения диагоналей AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
на стороны AB
, BC
, CD
и AD
соответственно.
Четырёхугольники MBNO
и NCKO
— вписанные, поэтому
\angle MNO=\angle MBO=\angle ABD,~\angle ONK=\angle OCK=\angle ACD,
а так как \angle ABD=\angle ACD
(четырёхугольник ABCD
— вписанный), то \angle MNO=\angle ONK
, т. е. NO
— биссектриса угла MNK
. Аналогично докажем, что MO
, KO
и LO
— биссектрисы углов четырёхугольника MNKL
.
Следовательно, биссектрисы внутренних углов четырёхугольника MNKL
пересекаются в одной точке. Поэтому четырёхугольник MNKL
— описанный.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 6.16, с. 152
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.19, с. 153
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1990
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1990, № 7, задача 3, с. 198