4784. Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности треугольника.
Указание. Пусть указанная прямая пересекает стороны AB
и AC
треугольника ABC
в точках M
и N
. Рассмотрите окружность с центром на отрезке MN
, касающуюся сторон AB
и AC
.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
. Если r_{1}
— радиус окружности с центром O_{1}
на отрезке MN
, касающейся сторон AB
и AC
, то
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}(AM+AN)r_{1}.
Прямая MN
проходит через центр O
вписанной окружности треугольника ABC
тогда и только тогда, когда r_{1}=r
(что равносильно совпадению точек O
и O_{1}
), т. е.
\frac{2S_{\triangle AMN}}{AN+AM}=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB+BC+AC},
или
\frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AM+AN}{AB+BC+AC}.