4787. Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.
Указание. Докажите, что медиана данного треугольника является его высотой или воспользуйтесь теоремой о касательной и секущей.
Решение. Первый способ. Пусть A
и B
, C
и D
, E
и F
— точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ
, QR
, RP
треугольника PQR
. Рассмотрим медиану PS
. Она проходит через середины параллельных хорд FA
и DC
, и поэтому, перпендикулярна им. Следовательно, PS
является высотой треугольника PQR
, а значит, PQ=PR
. Аналогично, PQ=QR
.
Второй способ. Пусть A
и B
, C
и D
, E
и F
— точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ
, QR
и RP
треугольника QPR
. Рассмотрим секущие PAB
и PFE
. Поскольку
PA\cdot PB=PF\cdot PE,~PA=\frac{1}{3}PQ,~PF=\frac{1}{3}PR,
\frac{2}{9}PQ^{2}=\frac{2}{9}PR^{2}
. Следовательно, PQ=PR
. Аналогично PQ=QR
.