4788. Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.
Указание. Если BB_{1}
и CC_{1}
— высоты данного треугольника ABC
, то BB_{1}
и CC_{1}
— пересекающиеся хорды одной окружности.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
, H
— их точка пересечения, \frac{AH}{A_{1}H}=\frac{BH}{B_{1}H}=\frac{CH}{C_{1}H}=k
.
Отрезок BC
виден из точек B_{1}
и C_{1}
под прямым углом. Следовательно, точки B
, C_{1}
, B_{1}
и C
лежат на окружности с диаметром BC
. По теореме об отрезках пересекающихся хорд
BH\cdot B_{1}H=CH\cdot C_{1}H,~\mbox{или}~\frac{k}{(k+1)^{2}}\cdot BB^{2}_{1}=\frac{k}{(k+1)^{2}}\cdot CC^{2}_{1}.
Поэтому BB_{1}=CC_{1}
.
Из равенства прямоугольных треугольников AB_{1}B
и AC_{1}C
(по катету и острому углу) следует, что AB=AC
. Аналогично AB=BC
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.31, с. 104