4790. Окружности S_{1}
и S_{2}
касаются окружности S
внутренним образом в точках A
и B
, причём одна из точек пересечения окружностей S_{1}
и S_{2}
лежит на отрезке AB
. Докажите, что сумма радиусов окружностей S_{1}
и S_{2}
равна радиусу окружности S
. Верно ли обратное?
Ответ. Верно.
Указание. Пусть O
, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей S
, S_{1}
и S_{2}
соответственно, а M
— точка пересечения окружностей S_{1}
и S_{2}
, лежащая на отрезке AB
. Тогда OO_{1}MO_{2}
— параллелограмм.
Решение. Пусть O
, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей S
, S_{1}
и S_{2}
соответственно, R
, R_{1}
и R_{2}
— их радиусы, M
— точка пересечения окружностей S_{1}
и S_{2}
, лежащая на отрезке AB
.
Равнобедренные треугольники AOB
, AO_{1}M
и MO_{2}B
имеют один и тот же угол при основании. Поэтому O_{1}M\parallel OB
и O_{2}M\parallel OA
. Следовательно, четырёхугольник OO_{1}MO_{2}
— параллелограмм. Тогда
R_{1}+R_{2}=O_{1}M+O_{2}M=OO_{2}+O_{2}B=OB=R.
Обратно, пусть R_{1}+R_{2}=R
. Докажем, что одна из точек пересечения окружностей S_{1}
и S_{2}
лежит на отрезке AB
. Действительно, если окружности S_{1}
и S_{2}
пересекают отрезок AB
в точках P
и Q
соответственно, то OO_{2}\parallel O_{1}P
и
OO_{2}=OB-O_{2}B=R-R_{2}=R_{1}=O_{1}P.
Значит, OO_{1}PO_{2}
— параллелограмм, поэтому O_{2}P\parallel OA
, а так как O_{2}Q\parallel OA
, то точки P
и Q
совпадают. Что и требовалось доказать.