4795. Из точки A
проведены касательные AB
и AC
к окружности с центром O
. Через точку X
отрезка BC
проведена прямая KL
, перпендикулярная XO
(точки K
и L
лежат на прямых AB
и AC
). Докажите, что KX=XL
.
Указание. Докажите, что \angle OKX=\angle OBX
.
Решение. Из точек B
и X
отрезок OK
виден под прямым углом, поэтому точки O
, X
, B
и K
лежат на одной окружности. Следовательно, \angle OKX=\angle OBX=\angle OBC
. Аналогично, \angle OLX=\angle OCX=\angle OCB
.
Поскольку \angle OBC=\angle OCB
, то \angle OKX=\angle OLX
. Следовательно, треугольник KOL
— равнобедренный и его высота OX
является медианой.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.28, c.~62
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.29, с. 59
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 104, c.~105