4797. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проведена произвольная прямая, пересекающая эти окружности соответственно в точках C_{1}
и C_{2}
, отличных от A
. Докажите, что отрезок C_{1}C_{2}
виден из точки B
под одним и тем же углом для любой прямой C_{1}C_{2}
.
Указание. Докажите, что указанный отрезок виден из точки B
под углом, равным углу между радиусами окружностей, проведёнными в точку A
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно. Обозначим
\angle O_{1}AO_{2}=\varphi,~\angle C_{1}BA=\alpha,~\angle C_{2}BA=\beta.
Тогда
\angle C_{1}O_{1}A=2\alpha,~\angle C_{2}O_{2}A=2\beta,~\angle C_{1}AO_{1}=90^{\circ}-\alpha,~\angle C_{2}AO_{2}=90^{\circ}-\beta.
Поэтому
90^{\circ}-\alpha+90^{\circ}-\beta+\varphi=180^{\circ}.
Следовательно,
\alpha+\beta=\varphi,~\angle C_{1}BC_{2}=\alpha+\beta=\varphi.