4800. Точки C
и D
лежат на окружности с диаметром AB
и отличны от A
и B
. Прямые AC
и BD
пересекаются в точке P
, а прямые AD
и BC
— в точке Q
. Докажите, что AB
перпендикулярно PQ
.
Указание. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Поскольку точки C
и D
лежат на окружности с диаметром AB
и отличны от A
и B
, то
\angle ACB=\angle ADB=90^{\circ},
поэтому две высоты треугольника ABP
лежат на прямых AD
и BC
, которые пересекаются в точке Q
. Значит, прямая, содержащая третью высоту PM
этого треугольника, также проходит через точку Q
. Следовательно, PQ\perp AB
.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 31, с. 32
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.34, с. 63
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.35, с. 60