4801. Прямые PC
и PD
касаются окружности с диаметром AB
(C
и D
— точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая точку P
с точкой пересечения прямых AC
и BD
, перпендикулярна AB
.
Указание. Пусть K
— точка пересечения прямых AC
и BD
, а Q
— прямых AD
и BC
. Докажите, что KQ\perp AB
, а прямые PC
и PD
проходят через середину отрезка KQ
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точки C
и D
лежат по одну сторону от прямой AB
.
Пусть прямые AC
и BD
пересекаются в точке K
, а прямые AD
и BC
— в точке Q
. Тогда AD
и BC
— высоты треугольника AKB
, Q
— их точка пересечения. Следовательно, высота KE
этого треугольника проходит через точку Q
. Поэтому KQ\perp AB
.
Докажем теперь, что точка P
лежит на прямой KQ
. Пусть M
— точка пересечения прямых CP
и KQ
. Тогда \angle CKM=\angle ABC
(как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), а
\angle KCM=\frac{1}{2}\cup AC=\angle ABC
(по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, треугольник KMC
— равнобедренный, MK=MC
.
Поскольку треугольник KCQ
— прямоугольный, то M
— середина его гипотенузы QK
. Аналогично докажем, что прямая DP
пересекает отрезок KQ
в его середине M
. Следовательно, точки P
и M
совпадают, и точка P
лежит на прямой KQ
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.35, с. 63
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.36, с. 60