4802. На отрезке AC
взята точка B
. На AB
и AC
как на диаметрах построены окружности. К отрезку AC
в точке B
проведён перпендикуляр BD
до пересечения с большей окружностью в точке D
. Из точки C
проведена касательная CK
к меньшей окружности. Докажите, что CD=CK
.
Указание. Докажите, что равны квадраты отрезков CD
и CK
.
Решение. Пусть O
— середина отрезка AB
. В прямоугольном треугольнике ADC
отрезок BD
— высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому DC^{2}=BC\cdot AC
. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей CK^{2}=BC\cdot AC
. Следовательно, CD=CK
.