4803. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длиной m
и n
, считая от вершины. К окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найдите длины отрезков касательных, заключённых между сторонами треугольника.
Ответ. \frac{2mn}{m+2n}
, \frac{n(m+n)}{m+2n}
, \frac{n(m+n)}{m+2n}
.
Указание. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Решение. Пусть P
, Q
и R
— точки касания вписанной окружности со сторонами BC
, AB
и AC
треугольника ABC
(AB=BC)
. Тогда
AQ=AR=n,~BP=BQ=m,~CP=CR=n,~AC=2n,
а периметр треугольника ABC
равен 2(m+n)+2n=2(m+2n)
.
Пусть прямая, параллельная стороне BC
касается окружности в точке M
и пересекает стороны AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Тогда KM=KQ,LM=LR
. Поэтому периметр треугольника AKL
равен
AK+KL+AL=AK+KM+ML+AL=AK+KQ+RL+AL=AQ+AR=2n.
Коэффициент подобия треугольников AKL
и ABC
равен отношению их периметров, т. е. \frac{n}{m+2n}
. Следовательно,
KL=n\cdot\frac{BC}{m+2n}=\frac{n(m+n)}{m+2n}.
Аналогично находим остальные искомые отрезки.