4806. Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен сумме радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся этого катета.
Указание. Пусть BC
— катет прямоугольного треугольника ABC
(\angle C=90^{\circ}
). Докажите, что расстояние от вершины B
до точки касания гипотенузы со вписанной окружностью равно радиусу вневписанной окружности, касающейся катета BC
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC
, P
— точка касания этой окружности с катетом BC
, r
— радиус этой окружности. Пусть также окружность с центром в точке O_{1}
и радиусом R
касается катета BC
в точке Q
и, кроме того, касается продолжений катета AC
и гипотенузы AB
.
Отрезок OO_{1}
виден из точек C
и B
под прямым углом. Поэтому точки B
и C
лежат на окружности с диаметром OO_{1}
. Следовательно,
\angle BOO_{1}=\angle BCO_{1}=45^{\circ}.
Тогда OB=O_{1}B
.
Пусть M
и N
точки касания окружностей с прямой AB
(AM\lt AN
). Тогда треугольники OMB
и BNO_{1}
равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому BM=O_{1}N=R
. Следовательно,
BC=BP+PC=BM+PC=R+r.