4807. Из точки A
к окружности радиусом R
проводится касательная AM
(M
— точка касания). Секущая, проходящая через точку A
, пересекает окружность в точках K
и L
, причём L
— середина отрезка AK
, а угол AMK
равен 60^{\circ}
. Найдите площадь треугольника AMK
.
Ответ. \frac{3R^{2}(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{8}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей и теорему косинусов.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Тогда \angle MOK=120^{\circ}
и MK=R\sqrt{3}
. Обозначим AM=x
.
По теореме о касательной и секущей
AM^{2}=AK\cdot AL=2AL^{2}.
Поэтому AL=\frac{x}{\sqrt{2}}
и AK=x\sqrt{2}
.
По теореме косинусов из треугольника AMK
находим, что
x^{2}+3R^{2}-xR\sqrt{3}=2x^{2},~\mbox{или}~x^{2}+xR\sqrt{3}-3R^{2}=0.
Следовательно, x=\frac{R(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{2}
(единственный положительный корень полученного уравнения),
S_{\triangle AMK}=\frac{1}{2}AM\cdot MK\sin60^{\circ}=\frac{3R^{2}(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{8}.