4810. Около прямоугольного треугольника
ABC
с катетами
AC=5
и
BC=12
описана окружность. Точки
E
и
G
— середины меньших дуг
AC
и
BC
этой окружности, точка
F
— середина дуги
AB
, не содержащей точки
C
. Найдите площадь четырёхугольника
AEGF
.
Ответ.
\frac{117}{2}
.
Указание. Пусть
O
— центр окружности (середина
AB
). Представьте площадь четырёхугольника
AEGF
в виде суммы площадей треугольников
AOF
,
GOE
,
AOE
и
GOF
.
Решение. Центр
O
окружности, описанной около прямоугольного треугольника
ABC
, совпадает с серединой гипотенузы
AB
. Следовательно, радиус этой окружности равен половине гипотенузы, т. е.
R=\frac{13}{2}
.
Серединные перпендикуляры к катетам
AC
и
BC
пересекают меньшие дуги
AC
и
BC
в их серединах
E
и
G
соответственно. Поэтому
\angle EOA=\angle CBA,~\angle GOE=90^{\circ}.

Серединный перпендикуляр к гипотенузе
AB
пересекает дугу
AB
, не содержащую точку С, также в её середине
F
. Поэтому
\angle AOF=90^{\circ},~\angle GOF=180^{\circ}-\angle CBA.

Следовательно,
S_{AEGF}=S_{\triangle AOF}+S_{\triangle GOE}+S_{\triangle AOE}+S_{\triangle GOF}=

=\frac{1}{2}R^{2}+\frac{1}{2}R^{2}+\frac{1}{2}R^{2}\sin\angle B+\frac{1}{2}R^{2}\sin(180^{\circ}-\angle B)=R^{2}+\frac{5}{13}R^{2}=\frac{117}{2}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1988
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 3, с. 65, задача 3, вариант 2