4817. Через точку M
, расположенную на диаметре окружности радиуса 4, проведена хорда AB
, образующая с диаметром угол 30^{\circ}
. Через точку B
проведена хорда BC
, перпендикулярная данному диаметру. Найдите площадь треугольника ABC
, если AM:MB=2:3
.
Ответ. \frac{180\sqrt{3}}{19}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра окружности на хорду AB
.
Решение. Точки B
и C
симметричны относительно данного диаметра. Поэтому треугольник BMC
— равнобедренный, \angle BMC=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}
.
Обозначим AM=2x
, BM=3x
. Тогда стороны равностороннего треугольника MBC
равны 3x
, а его площадь равна \frac{9x^{2}\sqrt{3}}{4}
. Поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{AB}{MB}S_{\triangle MBC}=\frac{5}{3}\cdot\frac{9x^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{15x^{2}\sqrt{3}}{4}.
Пусть K
— проекция центра O
данной окружности на хорду AB
. Тогда
BK=AK=\frac{5x}{3},~MK=AK-AM=\frac{x}{2},~OK=MK\tg30^{\circ}=\frac{x}{2\sqrt{3}}.
По теореме Пифагора
OK^{2}+KB^{2}=OB^{2},~\mbox{или}~\frac{x^{2}}{12}+\frac{25x^{2}}{4}=16.
Отсюда находим, что x^{2}=\frac{48}{19}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{15x^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{180\sqrt{3}}{19}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.425, с. 186