4819. В треугольнике PQR
угол QPR
равен 60^{\circ}
. Через вершины P
и R
проведены перпендикуляры к сторонам QR
и PQ
соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров находится от вершин P
и Q
на расстоянии, равном 1. Найдите стороны треугольника PQR
.
Ответ. PQ=QR=PR=\sqrt{3}
.
Указание. Воспользуйтесь свойством серединного перпендикуляра к отрезку.
Решение. Пусть M
точка пересечения указанных перпендикуляров, а A
и B
— их точки пересечения с прямыми QR
и PQ
. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то прямая QM
перпендикулярна стороне PQ
, а так как точка M
равноудалена от точек P
и Q
, то QM
— серединный перпендикуляр к стороне PQ
.
Следовательно, точка Q
равноудалена от точек P
и R
. Поэтому треугольник PQR
— равнобедренный. Поскольку один из углов этого треугольника равен 60^{\circ}
, то треугольник PQR
— равносторонний. Тогда
PA=RB=\frac{3}{2}PM=\frac{3}{2},~PQ=QR=PR=\frac{PA}{\sin60^{\circ}}=\sqrt{3}.