4823. Наименьший из углов прямоугольного треугольника равен \alpha
. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Найдите отношение площадей круга и треугольника.
Ответ. \frac{\pi\cos\alpha}{8\sin^{3}\alpha}
.
Указание. Выразите катеты треугольника и радиус круга через гипотенузу.
Решение. Центр указанного круга — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе и серединного перпендикуляра к средней линии треугольника, параллельной большему катету.
Если 2x
— гипотенуза, а R
— радиус круга, то меньший катет равен 2x\sin\alpha
, больший катет равен 2x\cos\alpha
, половина указанной средней линии равна \frac{x}{2}\cos\alpha
, R=\frac{x\cos\alpha}{2\sin\alpha}
. Следовательно, площадь треугольника равна 2x^{2}\sin\alpha\cos\alpha
, площадь круга равна
\pi R^{2}=\frac{\pi x^{2}\cos^{2}\alpha}{4\sin^{2}\alpha},
а искомое отношение равно
\frac{\frac{\pi x^{2}\cos^{2}\alpha}{4\sin^{2}\alpha}}{2x^{2}\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\pi\cos\alpha}{8\sin^{3}\alpha}.