4824. Точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
. Докажите, что периметр треугольника AMN
не больше периметра треугольника ABC
.
Решение. Пусть точка M
, отличная от A
и B
, лежит на стороне AB
. Тогда по неравенству треугольника CM\lt BM+BC
, поэтому
CM+AM+AC\lt BM+BC+AC\lt AB+BC+AC,
т. е. периметр треугольника AMC
меньше периметра треугольника ABC
.
Аналогично, если точка N
на стороне AC
отлична от точек A
и C
, то периметр треугольника AMN
меньше периметра треугольника AMC
, а следовательно, меньше периметра треугольника ABC
.
Если же точки M
и N
совпадают с вершинами треугольника, утверждение задачи очевидно.