4827. В треугольнике стороны относятся как 2:3:4
. В него вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найдите отношение площади полукруга к площади треугольника.
Ответ. \frac{9\pi}{10\sqrt{15}}
.
Указание. Если стороны треугольника равны 2x
, 3x
и 4x
, а r
— радиус указанного полукруга, то площадь треугольника равна \frac{1}{2}(2x+3x)r
.
Решение. Пусть стороны треугольника равны 2x
, 3x
и 4x
, а площадь равна S
. По формуле Герона
S=\sqrt{\frac{9x}{2}\cdot\frac{5x}{2}\cdot\frac{3x}{2}\cdot\frac{x}{2}}=\frac{3x^{2}\sqrt{15}}{4}.
С другой стороны, если r
— радиус указанной окружности, то
S=\frac{1}{2}(2x+3x)r=\frac{5xr}{2}.
Отсюда находим, что r=\frac{3x\sqrt{15}}{10}
. Поэтому, если S_{1}
— площадь полукруга, то
S_{1}=\frac{\pi r^{2}}{2}=\frac{27\pi x^{2}}{40}.
Следовательно,
\frac{S_{1}}{S}=\frac{9\pi}{10\sqrt{15}}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.190, с. 171