4829. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Докажите, что радиус окружности есть среднее геометрическое отрезков третьей касательной.
Указание. Отрезок третьей касательной, заключённый между двумя другими, виден из центра окружности под прямым углом.
Решение. Пусть третья прямая касается окружности с центром O
в точке M
и пересекает первую и вторую касательные в точках A
и B
соответственно. Поскольку лучи AO
и BO
— биссектрисы углов A
и B
, сумма которых равна 180^{\circ}
, то \angle AOB=90^{\circ}
. Поэтому OM
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, OM^{2}=AM\cdot BM
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 39, с. 71