4830. Даны две параллельные прямые на расстоянии, равном 15, одна от другой; между ними дана точка M
на расстоянии, равном 3, от одной из них. Через точку M
проведена окружность, касающаяся обеих прямых. Найдите расстояние между проекциями центра и точки M
на одну из данных прямых.
Ответ. 6.
Указание. Опустите перпендикуляр из точки M
на радиус окружности, проведённый в одну из точек касания.
Решение. Пусть A
и B
— проекции точки M
и центра O
окружности на одну из прямых, причём MA=3
. Тогда OB
— радиус окружности и OB=\frac{15}{2}
.
Пусть P
— проекция точки M
на OB
. В прямоугольном треугольнике MPO
известно, что
MO=\frac{15}{2},~OP=OB-PB=OB-MA=\frac{15}{2}-3=\frac{9}{2}.
Следовательно,
AB^{2}=MP^{2}=MO^{2}-OP^{2}=\left(\frac{15}{2}\right)^{2}-\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=36.