4837. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке D
. Прямая касается одной из этих окружностей в точке A
и пересекает другую в точках B
и C
. Докажите, что точка A
равноудалена от прямых BD
и CD
.
Указание. Проведите через точку D
общую касательную к данным окружностям.
Решение. Пусть F
— точка пересечения прямой AB
с общей касательной к данным окружностям, проведённой через точку D
; C_{1}
— отличная от D
точка пересечения прямой CD
с первой окружностью. Тогда
\angle FDA=\angle FAD,~\angle BDF=\angle BCD
(\angle BDF
— угол между касательной и хордой, \angle BCD
— вписанный угол).
\angle ADC_{1}=\angle DAC+\angle ACD=\angle FDA+\angle BDF=\angle ADB.
Следовательно, DA
— биссектриса угла C_{1}DB
, и точка A
равноудалена от прямых BD
и CD
.