4840. На отрезке AB
взята точка M
. На отрезках AM
и MB
как на сторонах построены по одну сторону от AB
квадраты. Около квадратов описаны окружности, пересекающиеся в точке C
(отличной от M
). Докажите, что: а) угол ACB
— прямой; б) точка F
лежит на отрезке AC
.
Указание. \angle ACB=\angle ACM+\angle BCM
.
Решение. Пусть ABDM
и MFNB
— указанные квадраты. Тогда
\angle ACM=\angle ABM=45^{\circ},~\angle BCM=\angle BNM=45^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACB=\angle ACM+\angle BCM=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}.
Поскольку
\angle FCM=\angle FNM=45^{\circ},~\angle ACM=\angle ABM=45^{\circ},
то \angle FCM=\angle ACM
. Следовательно, точки C
, A
и F
лежат на одной прямой.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 16.066, с. 351