4842. Через произвольную точку K
квадрата ABCD
проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны AB
и CD
в точках P
и Q
. Докажите, что отличная от K
точка пересечения окружностей, проходящих через точки K
, B
, P
и K
, D
, Q
, лежит на диагонали BD
.
Указание. Пусть L
— отличная от K
точка пересечения указанных окружностей. Докажите, что \angle KLD+\angle KLB=180^{\circ}
.
Решение. Пусть L
— отличная от K
точка пересечения указанных окружностей. Рассмотрим случай, когда точки Q
и L
расположены по одну сторону от прямой DK
, а точки L
и P
— по разные стороны от прямой KB
.
Поскольку \angle KQD=\angle KPB
, то
\angle KLD+\angle KLB=\angle KQD+(180^{\circ}-\angle KPB)=180^{\circ}.
Следовательно, точки D
, L
и B
лежат на одной прямой. Остальные случаи рассматриваются аналогично.