4845. Окружность, построенная на высоте AD
прямоугольного треугольника ABC
как на диаметре, пересекает катет AB
в точке K
, а катет AC
— в точке M
. Отрезок KM
пересекает высоту AD
в точке L
. Известно, что отрезки AK
, AL
и AM
составляют геометрическую прогрессию \left(\mbox{т. е.}~\frac{AK}{AL}=\frac{AL}{AM}\right)
. Найдите острые углы треугольника ABC
.
Ответ. 15^{\circ}
, 75^{\circ}
.
Указание. Докажите, что четырёхугольник AKDM
— прямоугольник.
Решение. Поскольку AD
и KM
— диаметры указанной окружности, то четырёхугольник AKDM
— прямоугольник. Пусть P
— проекция вершины A
на диаметр KM
. Тогда
AL^{2}=AK\cdot AM=KM\cdot AP=AD\cdot AP=2AL\cdot AP.
Отсюда находим, что AL=2AP
. Следовательно, в прямоугольном треугольнике APL
угол APL
равен 30^{\circ}
, а так как \angle ALP=2\angle LAM
, то \angle LAM=15^{\circ}
. Значит,
\angle ACB=90^{\circ}-\angle DAC=90^{\circ}-\angle LAM=75^{\circ},~\angle ABC=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}.