4848. Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
(AB\parallel CD
), A_{1}
и B_{1}
— точки, симметричные точкам A
и B
относительно биссектрисы угла AOB
. Докажите, что \angle ACA_{1}=\angle BDB_{1}
.
Указание. Поскольку A_{1}O\cdot OD=B_{1}O\cdot OC
, то точки D
, B_{1}
, A_{1}
и C
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Поскольку биссектриса есть ось симметрии угла, то точка A_{1}
принадлежит лучу OB
, а точка B_{1}
— лучу OA
, OA_{1}=OA
, OB_{1}=OB
.
Из подобия треугольников AOB
и COD
следует, что \frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}
, или AO\cdot OD=BO\cdot OC
. Следовательно,
A_{1}O\cdot OD=AO\cdot OD=BO\cdot OC=B_{1}O\cdot OC.
Поэтому точки D
, B_{1}
, A_{1}
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Следовательно,
\angle ACA_{1}=\angle B_{1}CA_{1}=\angle B_{1}DA_{1}=\angle B_{1}DB.
Второй способ. Поскольку биссектриса есть ось симметрии угла, то точка A_{1}
принадлежит лучу OB
, а точка B_{1}
— лучу OA
.
Из симметрии следует, что AA_{1}BB_{1}
равнобедренная трапеция с основаниями AA_{1}
и BB_{1}
, поэтому
\angle CAA_{1}=\angle OAA_{1}=\angle OB_{1}B=\angle OBB_{1}=\angle DBB_{1},
и
\frac{AA_{1}}{BB_{1}}=\frac{OA_{1}}{OB}=\frac{OA}{OB}.
Обозначим \frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=k
. Тогда
\frac{AC}{BD}=\frac{OA+OC}{OB+OD}=\frac{kOB+kOD}{OB+OD}=k=\frac{OA}{OB}=\frac{AA_{1}}{BB_{1}}.
Таким образом, треугольники CAA_{1}
и DBB_{1}
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle ACA_{1}=\angle BDB_{1}
.