4857. В прямоугольном треугольнике на гипотенузе AB
от вершины A
отложен отрезок AD
, равный катету AC
, а от вершины B
— отрезок BE
, равный катету BC
. Докажите, что длина отрезка DE
равна диаметру окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Указание. Диаметр вписанного круга прямоугольного треугольника с катетами a
, b
и гипотенузой c
равен a+b-c
.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
. Тогда
ED=AD-AE=AD-(AB-BE)=b-(c-a)=a+b-c.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
. Если O
— её центр, а M
, N
, K
— точки касания со сторонами соответственно AC
, BC
и AB
треугольника ABC
, то четырёхугольник OMCN
— квадрат. Поэтому
CM=CN=OM=ON=r,
c=AB=AK+BK=AM+BN=b-CM+a-CN=
=b-r+a-r=a+b-2r.
Следовательно, 2r=a+b-c=ED
.