4859. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность; O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABC
, BCD
, CDA
и DAB
. Докажите, что O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— прямоугольник.
Указание. Пусть K
— точка на продолжении отрезка BO_{1}
за точку O_{1}
. Применив метод вспомогательной окружности, докажите, что \angle O_{4}O_{1}K=\angle O_{4}AB
.
Решение. Поскольку AO_{1}
и BO_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
, то
\angle AO_{1}B=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB
(см. задачу 4770). Аналогично
\angle AO_{4}B=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ADB,
а так как \angle ADB=\angle ACB
, то \angle AO_{4}B=\angle AO_{1}B
. Поэтому точки A
, O_{4}
, O_{1}
и B
лежат на одной окружности.
Пусть K
— точка на продолжении отрезка BO_{1}
за точку O_{1}
. Тогда
\angle O_{4}O_{1}K=180^{\circ}-\angle O_{4}O_{1}B=\angle O_{4}AB=\frac{1}{2}\angle BAD
(так как луч AO_{4}
— биссектриса угла BAD
). Аналогично
\angle KO_{1}O_{2}=180^{\circ}-\angle O_{2}O_{1}B=\angle O_{2}CB=\frac{1}{2}\angle BCD,
а так как \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}
(противоположные углы вписанного четырёхугольника), то
\angle O_{4}O_{1}O_{2}=\angle O_{4}O_{1}K+\angle O_{2}O_{1}K=\frac{1}{2}\angle BAD+\frac{1}{2}\angle BCD=90^{\circ}.
Аналогично для остальных углов четырёхугольника O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
.