4863. Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
Указание. Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой; периметры равновеликих треугольников с равными вписанными окружностями равны между собой.
Решение. Пусть окружность касается сторон a
и b
треугольника и проведённых к ним медиан m_{a}
и m_{b}
. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то
\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}m_{b}=\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}m_{a}.\eqno(1)
С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие треугольники (один со сторонами a
и m_{b}
, второй — b
и m_{a}
). Поэтому периметры этих треугольников равны, т. е.
a+m_{b}+\frac{1}{2}b=b+m_{a}+\frac{1}{2}a,
или
\frac{1}{2}a+m_{b}=\frac{1}{2}b+m_{a}.\eqno(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что a=b
.