4864. О выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что окружность с диаметром AB
касается прямой CD
. Докажите, что окружность с диаметром CD
касается прямой AB
тогда и только тогда, когда прямые BC
и AD
параллельны.
Указание. Пусть M
и N
— середины AB
и CD
соответственно. Докажите, что BC\parallel MN
тогда и только тогда, когда S_{\triangle MBN}=S_{\triangle MCN}
.
Решение. Пусть BC\parallel AD
, а окружность с диаметром AB
касается прямой CD
в точке Q
. Если M
и N
— середины AB
и CD
соответственно, то MN\parallel BC
, а S_{\triangle MBN}=S_{\triangle MCN}
. Поэтому MB\cdot NP=CN\cdot MQ
, где NP
— высота треугольника MBN
. Но MB=MQ
(как радиусы одной окружности). Поэтому NP=CN
. Следовательно, окружность с диаметром CD
касается прямой AB
(в точке P
).
Если же окружность с диаметром AB
касается прямой CD
в точке Q
, а окружность с диаметром CD
— прямой AB
в точке P
, то MQ=MB
и NP=NC
. Поэтому MB\cdot NP=CN\cdot MQ
. Тогда S_{\triangle MBN}=S_{\triangle MCN}
. Следовательно, BC\parallel MN
. Аналогично AD\parallel MN
.