4866. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
, BC
и AC
в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
соответственно. Известно, что AC_{1}=BA_{1}=CB_{1}
. Докажите, что треугольник ABC
— правильный.
Указание. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон треугольника ABC
.
Решение. Поскольку AC_{1}=BA_{1}=BC_{1}
, то точка C_{1}
— середина стороны AB
. Аналогично докажем, что точки B_{1}
и A_{1}
— середины сторон AC
и BC
. Поэтому
AB=2BC_{1}=2BA_{1}=BC=2CA_{1}=2CB_{1}=AC.