4867. На отрезке AB
взята точка C
и на отрезках AB
, BC
, CA
как на диаметрах построены полуокружности S
, S_{1}
, S_{2}
с центрами O
, O_{1}
и O_{2}
радиусов r
, r_{1}
и r_{2}
соответственно по одну сторону от AB
. Найдите радиус r_{3}
окружности S_{3}
с центром O_{3}
, касающейся всех трёх полуокружностей.
Ответ. r_{3}=\frac{(r_{1}+r_{2})r_{1}r_{2}}{r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}=\frac{2rr_{1}r_{2}}{r^{2}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}
.
Решение. Первый способ. Обозначим угол между прямыми AB
и OO_{3}
через \theta
. По теореме косинусов из треугольников OO_{1}O_{3}
и OO_{2}O_{3}
получаем
\cos\theta=\frac{(r_{1}+r_{3})^{2}-(r-r_{1})^{2}-(r-r_{3})^{2}}{2(r-r_{1})(r-r_{3})},
\cos\theta=\frac{(r-r_{2})^{2}+(r_{1}-r_{3})^{2}-(r_{2}+r_{3})^{2}}{2(r-r_{2})(r-r_{3})}.
Из равенства
\frac{(r_{1}+r_{3})^{2}-(r-r_{1})^{2}-(r-r_{3})^{2}}{2(r-r_{1})(r-r_{3})}=\frac{(r-r_{2})^{2}+(r_{1}-r_{3})^{2}-(r_{2}+r_{3})^{2}}{2(r-r_{2})(r-r_{3})}
находим, что
r_{3}=\frac{2rr_{1}r_{2}}{r^{2}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}=\frac{(r_{1}+r_{2})r_{1}r_{2}}{r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}},
так как r=r_{1}+r_{2}
.
Второй способ. По теореме Стюарта (см. задачу 2663) для треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
и отрезка O_{3}O
получаем
O_{1}O_{3}^{2}\cdot OO_{2}+O_{2}O_{3}^{2}\cdot OO_{1}-OO_{3}^{2}\cdot O_{1}O_{2}=O_{1}O_{2}\cdot OO_{2}\cdot OO_{1},
или
(r_{1}+r_{3})^{2}(r-r_{2})+(r_{2}+r_{3})^{2}(r-r_{1})-(r-r_{3})^{2}\cdot(r_{1}+r_{2})=(r_{1}+r_{2})(r-r_{2})(r-r_{1}),
откуда
r_{3}=\frac{2rr_{1}r_{2}}{r^{2}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}=\frac{(r_{1}+r_{2})r_{1}r_{2}}{r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}.