4868. Пусть CM
— медиана треугольника ABC
. Известно, что \angle CAB+\angle MCB=90^{\circ}
. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный или прямоугольный.
Указание. Опишите окружность вокруг треугольника ABC
.
Решение. Пусть D
— точка пересечения продолжения медианы CM
с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда
\cup CBD=2\angle CAB+2\angle BCD=180^{\circ},
поэтому CD
— диаметр окружности.
Если AB
— не диаметр окружности (рис. 1), то CD\perp AB
, так как в равнобедренном треугольнике AOB
(O
— центр окружности) медиана OM
является высотой. Тогда медиана CM
треугольника ABC
также является высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный.
Если AB
— диаметр, то \angle ACB=90^{\circ}
. Следовательно, треугольник ABC
— прямоугольный.
Источник: Журнал «Квант». — 1986, № 7, с. 27, задача 4