4869. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
вписанного четырёхугольника ABCD
, длины которых равны a
, b
, c
и d
, внешним образом построены прямоугольники размером a\times c
, b\times d
, c\times a
и d\times b
. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Решение. Пусть P
и Q
— центры прямоугольников ABC_{1}D_{1}
и BCD_{2}A_{2}
, построенных на сторонах AB
и BC
соответственно, R
и S
— центры равным им прямоугольников, построенных на сторонах CD
и AD
соответственно. Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC.
Тогда
\angle PBQ=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle ADC)=\angle ADC,
а так как BP=DR
и BQ=DS
, то треугольники PBQ
и RDS
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, PQ=SR
. Аналогично, равны треугольники CQR
и APS
, поэтому PS=QR
. Следовательно, PQRS
— параллелограмм.
Заметим, что один из треугольников PBQ
и RDC
построен на стороне этого параллелограмма внешним образом (пусть это треугольник RDS
), а второй — внутренним (треугольник PBQ
). Аналогично для треугольников APS
и CQR
соответственно.
Обозначим
\angle PQB=\angle RSD=\alpha,~\angle CQR=\angle PSA=\beta,~\angle BQC=\gamma.
Тогда
\angle ASD=\angle CQD_{2}=180^{\circ}-\gamma.
Значит,
\angle PQR+\angle RSP=(\angle PQB+\angle BQC+\angle CQR)+(\angle ASD-\angle DSR-\angle ASP)=
=(\alpha+\gamma+\beta)+((180^{\circ}-\gamma)-\alpha-\beta)=180^{\circ}.
Следовательно, \angle PQR=\angle PSR=90^{\circ}
. Отсюда следует утверждение задачи.