4880. Середина основания трапеции соединена с вершинами другого основания. Эти прямые пересекают диагонали трапеции в точках P
и Q
. Докажите, что прямая PQ
параллельна основаниям трапеции и её отрезок, заключённый между боковыми сторонами, делится точками P
и Q
на три равные части.
Решение. Пусть точка P
лежит на диагонали AC
трапеции ABCD
, точка Q
— на диагонали BD
, M
— середина основания AD
. Обозначим AM=MD=a
, BC=b
.
Из подобия треугольников APM
и CPB
следует, что
\frac{MP}{PB}=\frac{AM}{BC}=\frac{a}{b},
поэтому \frac{MP}{MB}=\frac{a}{a+b}
. Аналогично \frac{MQ}{MC}=\frac{a}{a+b}
, значит, \frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MC}
. Следовательно, PQ\parallel BC
.
Пусть прямая PQ
пересекает боковые стороны AB
и CD
трапеции в точках E
и F
соответственно. Медиана BM
треугольника ABD
делит точкой P
отрезок EQ
пополам, значит, EP=PQ
. Аналогично PQ=QF
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 10.13, с. 80