4881. Дан равнобедренный треугольник ABC
с углом 20^{\circ}
при вершине A
. Точки P
и Q
лежат на боковых сторонах AB
и AC
соответственно, причём \angle PCB=70^{\circ}
и \angle QBC=60^{\circ}
. Найдите \angle PQA
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку Q
параллельно BC
, пересекает сторону AB
в точке R
, а S
— точка пересечения BQ
и CR
. Тогда треугольники QRS
и BCS
равносторонние, а AS
— биссектриса угла BAC
, поэтому
\angle PCR=\angle PCB-\angle BCS=70^{\circ}-60^{\circ}=10^{\circ}=\angle RAS.
Кроме того, поскольку
\angle CAR=20^{\circ}=\angle ACR,
треугольник ARC
равнобедренный, AR=CR
. Значит, треугольники ARS
и CRP
с общим углом при вершине R
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда RS=RP=RQ
, поэтому треугольник PRQ
тоже равнобедренный. При этом
\angle RQP=\angle QPR=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ARQ)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-80^{\circ})=50^{\circ}
Следовательно,
\angle PQA=\angle RQA-\angle RQP=80^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}.