4884. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
; S
— площадь треугольника, углы, противолежащие сторонам BC
, AC
, AB
, равны \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно. Докажите, что:
а) S=p(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}
;
б) S=(p-b)(p-c)\ctg\frac{\alpha}{2}
;
в) S=p^{2}\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}
;
г) S^{2}=abcp\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}
.
Решение. а) Пусть вписанная в треугольник ABC
окружность с центром I
касается стороны AC
в точке B_{1}
. Тогда
r=IB_{1}=AB_{1}\cdot\tg\angle IAB_{1}=(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S=pr=p(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}.
б) Из доказанной формулы следует, что p(p-a)=S\ctg\frac{\alpha}{2}
. Применив формулу Герона, получим, что
S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)=S\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot(p-b)(p-c).
Значит,
S=(p-b)(p-c)\ctg\frac{\alpha}{2}.
в) Снова применив формулу Герона, получим, что
S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)=p\cdot r\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot r\ctg\frac{\beta}{2}\cdot r\ctg\frac{\gamma}{2}=
=pr\cdot r^{2}\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2}=S\cdot\frac{S^{2}}{p^{2}}\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2}.
Отсюда находим, что
S=p^{2}\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}.
г) Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Применив формулу
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225), получим, что
abcp\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{abc}{4R}\cdot pr=S\cdot S=S^{2}.