4893. Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.
Указание. Продолжите биссектрисы двух углов треугольника до пересечения с описанной окружностью. Докажите, что расстояния от вершин этих углов до точки пересечения высот равны.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, O
— центр описанной окружности, I
— центр вписанной окружности. Поскольку OH
— прямая Эйлера треугольника ABC
, точка I
пересечения биссектрис треугольника лежит на прямой OH
.
Продолжим отрезки AI
и BI
до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Точка A_{1}
— середина дуги BC
, не содержащей точки A
, поэтому OA_{1}\perp BC
. Значит, OA_{1}\parallel AH
.
Треугольник IHA
подобен треугольнику IOA_{1}
, поэтому \frac{AH}{OA_{1}}=\frac{HI}{IO}
. Аналогично, \frac{BH}{OB_{1}}=\frac{HI}{IO}
, а так как OA_{1}=OB_{1}
как радиусы окружности, то AH=BH
.
Пусть D
— основание высоты треугольника, проведённой из вершины C
. Тогда HD
— высота равнобедренного треугольника AHB
, значит, D
— середина стороны AB
. Поэтому CD
— высота и медиана треугольника ABC
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.