4897. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, вершина среднего по величине угла и середины сторон, выходящих из вершины этого угла, лежат на одной окружности.
Указание. Примените теорему, обратную теореме о произведении пересекающихся хорд окружности (см. задачу 114).
Решение. Пусть \angle BAC
— средний по величине угол треугольника ABC
со сторонами AC=b
, AB=c
; I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, AL
— биссектриса треугольника, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон AC
и BC
соответственно.
Средний по величине угол треугольника лежит против средней по величине стороны, поэтому BC=\frac{1}{2}(b+c)
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}
, а так как BC=\frac{1}{2}(b+c)
, то BL=\frac{c}{2}
и LC=\frac{b}{2}
.
В то же время, BI
— биссектриса треугольника ABL
, поэтому \frac{AI}{IL}=\frac{AB}{BL}=\frac{c}{\frac{c}{2}}=2
.
Пусть биссектриса AL
пересекает среднюю линию B_{1}C_{1}
треугольника ABC
в точке K
. Положим AI=4x
, IL=2x
. Тогда
AK=\frac{1}{2}AL=3x,~KI=AI-AK=4x-3x=x,
поэтому AK\cdot KI=3x\cdot x=3x^{2}
.
С другой стороны,
C_{1}K=\frac{1}{2}BL=\frac{c}{4},~KB_{1}=\frac{1}{2}LC=\frac{b}{4},
поэтому
C_{1}K\cdot KB_{1}=\frac{c}{4}\cdot\frac{b}{4}=\frac{cb}{16}.
По формуле для квадрата биссектрисы (см. задачу 791)
36x^{2}=AL^{2}=AB\cdot AC-BL\cdot LC=cb-\frac{c}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{3}{4}cb,
откуда находим, что 3x^{2}=\frac{cb}{16}
. Значит,
AK\cdot KI=3x^{2}=\frac{cb}{16}=C_{1}K\cdot KB_{1}.
Следовательно (см. задачу 114), точки A
, B_{1}
, I
, C_{1}
лежат на одной окружности.