4898. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, угол, противолежащий стороне a
, равен \alpha
, а площадь равна S
. Докажите, что
а) a^{2}=b^{2}+c^{2}-4S\ctg\alpha
;
б) a^{2}=(b-c)^{2}+4S\tg\frac{\alpha}{2}
;
в) a^{2}=(b+c)^{2}-4S\ctg\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Примените теорему косинусов, формулу S=\frac{1}{2}bc\sin\alpha
и формулы тригонометрии.
Решение. а) По теореме косинусов
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=b^{2}+c^{2}-4\cdot\frac{1}{2}bc\sin\alpha\ctg\alpha=b^{2}+c^{2}-4S\ctg\alpha.
б)
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=b^{2}+c^{2}+2bc(1-\cos\alpha)-2bc=
=b^{2}+c^{2}-2bc+4\cdot\frac{1}{2}bc\sin\alpha\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=
=(b-c)^{2}+4S\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=(b-c)^{2}+4S\tg\frac{\alpha}{2}
в)
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=b^{2}+c^{2}-2bc(1+\cos\alpha)+2bc=
=b^{2}+c^{2}+2bc-4\cdot\frac{1}{2}bc\sin\alpha\cdot\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=
=(b+c)^{2}-4S\cdot\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=(b+c)^{2}+4S\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}.