4900. Свойства скалярного произведения векторов. Скалярным произведением векторов \overrightarrow{a}(x_{1};y_{1})
и \overrightarrow{b}(x_{2};y_{2})
называется число x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}
. Обозначение: \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}
.
Докажите следующие свойства скалярного произведения векторов.
1) \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}
.
2) \overrightarrow{(\alpha a)}\cdot\overrightarrow{b}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}
, где \alpha
— любое число.
3) \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}
.
4) \overrightarrow{a}^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}
.
5) (\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b})^{2}=\overrightarrow{a}^{2}\pm2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}
.
6) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между векторами, т. е. \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})
.
7) Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0, т. е. \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0
.
Решение. 1)
\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=x_{2}x_{1}+y_{2}y_{1}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}.
2)
\overrightarrow{(\alpha a)}\cdot\overrightarrow{b}=\alpha x_{1}\cdot y_{1}+\alpha x_{2}\cdot y_{2}=\alpha(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})=\alpha\cdot\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}.
3) Пусть (x_{3};y_{3})
— координаты вектора \overrightarrow{c}
. Тогда (x_{2}+x_{3};y_{2}+y_{3})
— координаты вектора \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
, поэтому
\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=x_{1}(x_{2}+x_{3})+y_{1}(y_{2}+y_{3})=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}=
=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+(x_{1}x_{3}+y_{1}y_{3})=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}.
4)
\overrightarrow{a}^{2}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=x_{1}x_{1}+y_{1}y_{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}.
5)
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=
=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}.
С учётом того, что \overrightarrow{-a}\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}
, аналогично получим, что
(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}=\overrightarrow{a}^{2}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}.
6) Вычитая из первого доказанного равенства второе, получим, что
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}=4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b},
откуда
\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}}{4}=\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^{2}-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^{2}}{4}.
Значит, скалярное произведение векторов зависит только от длин векторов \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
и \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}
, и поэтому не зависит от выбора системы координат. Следовательно, мы можем выбрать любую удобную нам прямоугольную систему координат.
Пусть \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
— ненулевые векторы, \varphi
— угол между ними. Примем начало O
вектора \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}
за начало координат. Направим ось Ox
по лучу OA
, а ось Oy
— по перпендикулярному лучу. В выбранной системе координат вектор \overrightarrow{a}
имеет координаты (|\overrightarrow{a}|;0)
, а вектор \overrightarrow{b}
— (|\overrightarrow{b}|\cos\varphi;|\overrightarrow{b}|\sin\varphi)
. Следовательно,
\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi+0\cdot|\overrightarrow{b}|\sin\varphi=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi.
7)
Пусть \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}
. Тогда \varphi=\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=90^{\circ}
. Следовательно,
\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos90^{\circ}=0.
Обратно, пусть \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0
. Поскольку векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
ненулевые, |\overrightarrow{a}|\ne0
и |\overrightarrow{b}|\ne0
. Тогда из равенства |\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi=0
следует, что \cos\varphi=0
. Значит, \varphi=90^{\circ}
.
Примечание. Доказанные свойства скалярного произведения справедливы и для векторов в пространстве.