4903. Расстояние между параллельными прямыми равно 8. На одной из них лежит вершина C
, на другой — основание AB
равнобедренного треугольника ABC
. Известно, что AB=12
. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC
, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{65}
или \sqrt{5}
.
Решение. Первый способ. Пусть CH
— высота треугольника, r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, Q
— центр этой окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AQ
— биссектриса треугольника ACH
. Тогда
\frac{QH}{QC}=\frac{AH}{AC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3},
а так как CH=8
, то r=QH=\frac{3}{8}\cdot8=3
.
Из прямоугольного треугольника AQH
находим, что
AQ=\sqrt{QH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}.
Пусть окружность с центром O
касается данных параллельных прямых и боковой стороны AC
равнобедренного треугольника ABC
, причём прямой AB
— в точке M
, и не имеет общих точек с боковой стороной BC
(рис. 1). Тогда AO
— биссектриса угла CAM
.
Угол между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
, поэтому треугольник OAQ
прямоугольный. Из равенства углов AOM
и QAH
(острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами) следует, что прямоугольный треугольник AMO
подобен треугольнику QHA
. Значит, \frac{OM}{OA}=\frac{AH}{AQ}
, или \frac{4}{OA}=\frac{6}{3\sqrt{5}}
, откуда находим, что OA=2\sqrt{5}
.
Из прямоугольного треугольника OAQ
находим, что
OQ=\sqrt{AQ^{2}+AO^{2}}=\sqrt{45+20}=\sqrt{65}.
Пусть теперь окружность с центром O
касается данных параллельных прямых и боковой стороны BC
равнобедренного треугольника ABC
, причём прямой AB
— в точке M
, и пересекает боковую сторону AC
(рис. 2). Тогда точки O
и Q
лежат на биссектрисе угла ABC
. Треугольник BOM
подобен треугольнику BQH
с коэффициентом \frac{OM}{QH}=\frac{4}{3}
, поэтому
BO=\frac{4}{3}BQ=\frac{4}{3}\cdot3\sqrt{5}=4\sqrt{5}.
Следовательно,
OQ=BO-BQ=4\sqrt{5}-3\sqrt{5}=\sqrt{5}.
Второй способ. Пусть CH
— высота треугольника, r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, Q
— центр этой окружности. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Из прямоугольного треугольника ACH
находим, что
\tg\alpha=\frac{CH}{AH}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{3}{5},~\sin\alpha=\frac{4}{5},~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{1}{2},
а так как AQ
— биссектриса угла CAB
, то
r=QH=AH\tg\frac{\alpha}{2}=6\cdot\frac{1}{2}=3,~AQ^{2}=AH^{2}+QH^{2}=36+9=45.
Пусть окружность с центром O
радиуса R
касается данных параллельных прямых и боковой стороны AC
равнобедренного треугольника ABC
, причём прямой AB
— в точке M
, и не имеет общих точек с боковой стороной BC
(рис. 1).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO
— биссектриса угла MAC
. Тогда
\angle OAQ=\frac{1}{2}(\angle CAB+\angle CAM)=90^{\circ},~\angle OAM=90^{\circ}-\angle QAH=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle AOM=\frac{\alpha}{2},~
AM=OM\tg\frac{\alpha}{2}=4\cdot\frac{1}{2}=2,~AO^{2}=OM^{2}+AM^{2}=16+4=20.
Из прямоугольного треугольника OAQ
находим, что
OQ=\sqrt{AQ^{2}+AO^{2}}=\sqrt{45+20}=\sqrt{65}.
Пусть теперь окружность с центром O
радиуса R
касается данных параллельных прямых и боковой стороны BC
равнобедренного треугольника ABC
, причём прямой AB
— в точке M
, и пересекает боковую сторону AC
(рис. 2). Тогда точки O
и Q
лежат на биссектрисе угла ABC
. Треугольник BOM
подобен треугольнику BQH
с коэффициентом \frac{OM}{QH}=\frac{4}{3}
, поэтому
BO=\frac{4}{3}BQ=\frac{4}{3}\cdot3\sqrt{5}=4\sqrt{5}.
Следовательно,
OQ=BO-BQ=4\sqrt{5}-3\sqrt{5}=\sqrt{5}.