4904. Синус угла при вершине A
равнобедренного треугольника ABC
равен \frac{24}{25}
, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \frac{25}{4}
или \frac{75}{8}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
и проведём высоту AH
треугольника ABC
. Тогда AH
— биссектриса и медиана треугольника ABC
, \angle BAH=\frac{\alpha}{2}
,
\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\left(\frac{24}{25}\right)^{2}=\frac{49}{625},
значит, либо \cos\alpha=\frac{7}{25}
, либо \cos\alpha=-\frac{7}{25}
.
В первом случае
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\frac{4}{5},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{5},~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4}.
Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, M
— точка её касания с боковой стороной AB
. Тогда
OA=\frac{OM}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{\frac{3}{5}}=5,~AH=OA+OH=5+3=8,~BH=AH\tg\frac{\alpha}{2}=8\cdot\frac{3}{4}=6.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{BH}{\sin\alpha}=\frac{6}{\frac{24}{25}}=\frac{25}{4}.
Если же \cos\alpha=-\frac{7}{25}
, то аналогично находим, что
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}}=\frac{3}{5},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{5},~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{3},~OA=\frac{OM}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{\frac{4}{5}}=\frac{15}{4},
AH=OA+OH=\frac{15}{4}+3=\frac{27}{4},~BH=AH\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{27}{4}\cdot\frac{4}{3}=9,
R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{9}{\sin\alpha}=\frac{9}{\frac{24}{25}}=\frac{75}{8}.