4906. Основание равнобедренного треугольника равно 2, а боковая сторона равна 6. Отрезок с концами на боковых сторонах треугольника параллелен основанию и делится окружностью, вписанной в треугольник, в отношении 1:3:1
. Найдите длину этого отрезка.
Ответ. \frac{25}{17}
или \frac{25}{13}
.
Решение. Пусть BC=2
— основание равнобедренного треугольника ABC
, AB=AC=6
— боковые стороны, P
— точка касания вписанной окружности с боковой стороной AB
, M
и N
— точки на боковых сторонах AB
и AC
соответственно, причём MN\parallel BC
, K
и L
— точки пересечения этого отрезка с вписанной окружностью, MK:KL:LN=1:3:1
, E
— середина BC
.
Положим MK=LN=t
, KL=3t
. Тогда MN=5t
, коэффициент подобия треугольников AMN
и ABC
равен \frac{MN}{BC}=\frac{5t}{2}
, а AM=\frac{5t}{2}\cdot AB=\frac{5t}{2}\cdot6=15t
.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому
BP=BE=1,~AP=AB-BM=6-1=5.
Если точка M
лежит между точками A
и P
(рис. 1), то
MP=AP-AM=5-15t\gt0.
По теореме о касательной и секущей MP^{2}=ML\cdot MK
, или
(5-15t)^{2}=4t^{2},~5-15t=2t,
откуда находим, что t=\frac{5}{17}
. Следовательно, MN=5t=\frac{25}{17}
.
Если же точка M
лежит между B
и P
(рис. 2), то MP=AM-AP=15t-5\gt0
и аналогично находим, что t=\frac{5}{13}
. Следовательно, MN=\frac{25}{13}
.