4908. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно. Отрезок с концами на боковых сторонах треугольника параллелен основанию и делится окружностью, вписанной в треугольник, в отношении 4:5:4
. Найдите длину этого отрезка.
Ответ. 13
или 25
.
Решение. Пусть BC=26
— основание равнобедренного треугольника ABC
, AB=AC=38
— боковые стороны, P
— точка касания вписанной окружности с боковой стороной AB
, M
и N
— точки на боковых сторонах AB
и AC
соответственно, причём MN\parallel BC
, K
и L
— точки пересечения этого отрезка с вписанной окружностью, MK:KL:LN=4:5:4
, E
— середина BC
.
Положим MK=LN=4t
, KL=5t
. Тогда MN=13t
, коэффициент подобия треугольников AMN
и ABC
равен \frac{MN}{BC}=\frac{13t}{26}=\frac{t}{2}
, а AM=\frac{t}{2}\cdot AB=19t
.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому
BP=BE=13,~AP=AB-BP=38-13=25.
Если точка M
лежит между точками A
и P
(рис. 1), то
MP=AP-AM=25-19t\gt0.
По теореме о касательной и секущей MP^{2}=ML\cdot MK
, или
(25-19t)^{2}=36t^{2},~25-19t=6t
откуда находим, что t=1
. Следовательно, MN=13t=13
.
Если же точка M
лежит между B
и P
(рис. 2), то MP=AM-AP=19t-25\gt0
и аналогично находим, что t=\frac{25}{13}
. Следовательно, MN=13t=13\cdot\frac{25}{13}=25
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011