4909. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 17 и 16 соответственно. Отрезок с концами на боковых сторонах треугольника параллелен основанию и делится окружностью, вписанной в треугольник, в отношении 1:15:1
. Найдите длину этого отрезка.
Ответ. \frac{51}{8}
или \frac{85}{8}
.
Решение. Пусть BC=17
— основание равнобедренного треугольника ABC
, AB=AC=16
— боковые стороны, P
— точка касания вписанной окружности с боковой стороной AB
, M
и N
— точки на боковых сторонах AB
и AC
соответственно, причём MN\parallel BC
, K
и L
— точки пересечения этого отрезка с вписанной окружностью, MK:KL:LN=1:15:1
, E
— середина BC
.
Положим MK=LN=t
, KL=15t
. Тогда MN=17t
, коэффициент подобия треугольников AMN
и ABC
равен \frac{MN}{BC}=\frac{17t}{17}=t
, а AM=t\cdot AB=16t
.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому
BP=BE=\frac{17}{2},~AP=AB-BP=16-\frac{17}{2}=\frac{15}{2}.
Если точка M
лежит между точками A
и P
(рис. 1), то
MP=AP-AM=\frac{15}{2}-16t\gt0.
По теореме о касательной и секущей MP^{2}=ML\cdot MK
, или
\left(\frac{15}{2}-16t\right)^{2}=16t^{2},~\frac{15}{2}-16t=4t
откуда находим, что t=\frac{3}{8}
. Следовательно, MN=17t=\frac{51}{8}
.
Если же точка M
лежит между B
и P
(рис. 2), то MP=AM-AP=16t-\frac{15}{2}\gt0
и аналогично находим, что t=\frac{5}{8}
. Следовательно, MN=17t=17\cdot\frac{5}{8}=\frac{85}{8}
.