4911. Точки E
, H
и F
лежат на сторонах соответственно PQ
, QR
и PR
треугольника PQR
, причём PEHF
— параллелограмм, площадь которого составляет \frac{12}{25}
площади треугольника PQR
. Найдите диагональ EF
параллелограмма, если известно, что PQ=10
, PR=15
и \cos\angle QPR=\frac{2}{9}
.
Ответ. 9
или 2\sqrt{14}
.
Решение. Пусть площадь треугольника FHR
равна S
, а \frac{RH}{QR}=k
. Треугольник FHR
подобен треугольнику PQR
с коэффициентом \frac{1}{k}
, а треугольник EQH
— треугольнику FHR
с коэффициентом \frac{1-k}{k}
, поэтому
S_{\triangle PQR}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S_{\triangle FHR}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S,~S_{\triangle EQH}=\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S_{\triangle FHR}=\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S,
S_{PEHF}=S_{\triangle PQR}-S_{\triangle FHR}-S_{\triangle EQH}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S-S-\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}S=\frac{12}{25}\left(\frac{1}{k}\right)^{2}S,
или
1-k^{2}-(1-k)^{2}=\frac{12}{25},~25k^{2}-25k+6=0,
откуда находим, что k=\frac{2}{5}
или k=\frac{3}{5}
.
В первом из этих случаев (рис. 1)
PE=FH=\frac{2}{5}PQ=\frac{2}{5}\cdot10=4,~PF=EH=\frac{3}{5}PR=\frac{3}{5}\cdot15=9.
Следовательно,
EF=\sqrt{PE^{2}+PF^{2}-2PE\cdot PF\cos\angle QPR}=\sqrt{16+81-2\cdot4\cdot9\cdot\frac{2}{9}}=\sqrt{81}=9.
Во втором случае (рис. 2)
PE=FH=\frac{3}{5}PQ=\frac{3}{5}\cdot10=6,~PF=EH=\frac{2}{5}PR=\frac{2}{5}\cdot15=6.
Следовательно,
EF=\sqrt{PE^{2}+PF^{2}-2PE\cdot PF\cos\angle QPR}=\sqrt{36+36-2\cdot6\cdot6\cdot\frac{2}{9}}=2\sqrt{14}.